Matematik Konu Anlatımı , Soru ve Çözümleri

 

x ∈ R için a > 0 olduğundan

y = f(x) = ax2 ≥ 0 olup parabolün kolları Oy ekseninin pozitif yönündedir.

y ekseni yani x = 0 doğrusu grafiğin simetri eksenidir.

Grafiğin (parabolün) tepe noktası O(0,0), fonksiyonunun görüntü kümesi

f(R) = R+ ∪ {0}, fonksiyonun en küçük değerisıfırdır.

 

Not:

Denklemi  f(x) = ax²+ bx + c  olan parabolde;

a>0 ise parabolün kolları yukarı doğrudur.

 

A<0 ise parabolün kolları aşağı doğrudur.

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = ax² + bx + c olan parabolünün  (0,c ) noktası parabolün y eksenini kestiği noktasıdır.

 

 

 

 

 

f(x) = ax² + bx + c  denkleminde;

∆> 0 ise  denklemin x₁ ve x₂ gibi farklı iki reel kökü vardır.

x₁ ve x₂ değerleri parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleridir.

 

 

 

 

 

 

f(x) = ax² + bx + c   denkleminde;

∆= 0 ise  denklemin x₁ = x₂ gibi çakışık iki reel kökü vardır

x₁ = x₂  değeri  parabolün x eksenine teğet olan noktanın apsisidir.

 

 

 

 

 

 

 

 

∆<0 ise  denklemin reel kökü yoktur.

Parabol x eksenini hiçbir noktada kesmez.

 

 

 

 

 

 

f(x) = ax² + bx + c  denkleminde;

Parabolün tepe noktası  T(r,k) ise;

r = (-b / 2a)

k= f(r) =   yada
k = ( 4ac-b²) / 4a   den bulunur

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = ax² + bx + c   denkleminde

x= r doğrusuna göre simetrik olduğundan   x= r =    (-b / 2a) doğrusu parabolün simetri eksenini belirtir.

 

 

 

 

 

 

 

Köşe Taşı:

y = ax² + bx + c   fonksiyonunun tepe noktasını tam kareye tamamlama yöntemiyle de bulabiliriz.

y = a( x-r)² + k  şekline getirilen denklemin tepe noktası   T(r,k)  dır.

Köşe Taşı:

a≠ 0 olmak üzere y = ax² + bx + c   parabolünün tepe noktası y ekseni üzerinde ise b=0 dır.

 

Köşe Taşı:

a > 0 iken a değeri nın büyüdükçe parabolün kolları y eksenine yaklaşır.

a değeri nın   değeri küçüldükçe parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.

Parabolün kolları yukarı doğrudur.

 

a < 0 için a büyüdükçe  parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.

a değeri nın  değeri küçüldükçe parabolün kolları y eksene yaklaşır.

Parabolün kolları aşağı doğrudur.

 

 

 

 

 

 

 

 

Örnek:

y = f(x) = 2x² -8x+ 9 parabolünün grafiğini çizelim.

Çözüm:

a= 2 , b= -8   c =  9 dur.

r = (-b/ 2a)  = -(-8)/ (2.2)→  r= 2

k= f(r)= f(2) = 22² -8(2)+ 4→ k=  1

Tepe noktası ;   T(2,1) dir.

X=0 için  y= 2.(0)² -8.(0)+ 9→  y=9   ,             (0,9)

y= 0 için   2x² -8x+ 9= 0

∆= b²-4ac è (-8)²-4.2.9 →   ∆= -8

∆< 0 0lduğundan  x eksenini kesmez.

 

 

 

 

 

 

Grafiği verilen Parabolün Denklemini Bulma

1. Parabolün x eksenini kesim noktaları ile bir A noktası belli ise, parabolün denklemi,

y = a(x – x₁) (x – x₂) biçimindedir. A noktasının koordinatları bu denklemi sağlar bundan yararlanarak a katsayısı bulunur.

2. Parabolün tepe noktası ile bir A noktası belli ise, parabolün denklemi,

y = a(x – r)² + k biçimindedir. A noktasının koordinatları bu denklemi sağlar. Bundan yararlanarak a katsayısı bulunur.

Örnek:

 

 

 

 

 

 

 

 

A(-1.0) , B(3,0 ) ve  C(0,6)  noktalarından geçen parabolün denklemini bulalım.

Çözüm

Parabol x eksenini   A(-1.0), B(3,0 )  noktalarında kestiğinden  x₁= -1  ve x₂= 3 tür.

C(0,6)  noktası parabolün üzerinde olduğundan denklemi sağlar

y = a(x – x₁) (x – x₂)

6= a.(0+1).(0-3)

a= -2

buradan  parabolün denklemi  y= (-2). (x+1).(x-3)   olur.

 

PARABOL İLE DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

y = ax² = bx + c parabolü  ile y = mx + n doğrusunun kesim noktalarını bulmak için verilen denklemlerin ortak çözümü yapılır.

Birinci denklemdeki y nin eşiti ikinci denklemde y yerine yazılırsa,

ax² + bx + c = mx + n

ax² + (b – m) x + (c – n) = 0      denklemi elde edilir.

Elde edilen son denklemde;

Δ> 0 ise, doğru ile parabol iki noktada kesişir.

 

 

 

 

 

 

Δ = 0 ise, doğru parabole teğet olur.

 Δ < 0 ise, doğru parabolü kesmez.

 

 

 

 

 

 

Örnek:

y =x² + 6x + 1 parabolü ile y= x+n  doğrusu bitbitine teğet olduğuna göre n kaçtır?

Çözüm:

y =x² + 6x + 1 parabolü ile y= x+n  doğrusu bitbitine teğet olduğuna göre ∆= 0  olmalı

x² + 6x + 1= y= x+n

x² + 6x + 1-n  = 0

∆= b²-4ac

0= 6²-4.1.(1-n) è 0 = 36-4+4n

4n= -32  → n = -8