Kümeler

MH

  • Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.
  • Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.
  • Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a ∈  A biçiminde yazılır. “a, A kümesinin elemanıdır.” diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b ∉ A biçiminde yazılır. “b, A kümesinin elemanı değildir.” diye okunur.
  • Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.
  • Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.
  • A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

 

 

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

 

Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

 

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.

Ortak Özelik Yöntemi

Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

 

A = {x : (x in özeliği)}

 

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

 

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

 

 

 Şema Yöntemi

 

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

 

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

14_Kum1

 

 EŞİT KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir

 

DENK KÜME

 

 Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

 

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

 

C kümesi D kümesine denk ise C  D

 

biçiminde gösterilir.

 

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

 

 

 

 

 

BOŞ KÜME

 

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

 

Boş küme { } ya da sembolleri ile gösterilir.

 

{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

 

 

 

 ALT KÜME

 

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

 

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise biçiminde gösterilir.

 

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. biçiminde gösterilir.

 

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse biçiminde gösterilir

 

 

ÖZALT KÜME

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

 

Alt Kümenin Özelikleri

 

Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin,• alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunmaz.• alt kümelerinden 2n–1 tanesinde a bulunur.

 

n elemanlı bir kümenin r tane (n ; r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

  14_Kum2

 

n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı (boş küme) ve n elemanlı alt kümeleri sayısı 1 dir.

      14_Kum3

 

n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı ve n – 1 elemanlı alt kümeleri sayısı n dir.

     14_Kum4

 

n elemanlı bir kümenin; x elemanlı alt kümeleri sayısı, y elemanlı alt kümeleri sayısına eşit ise, x = y veya n = x + y dir.

14_Kum5

 

n elemanlı bir kümenin bütün alt kümeleri sayısı 2n olduğu için,

14_Kum6

 

 

KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER

 Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

 

 

14_Kum8 F Ì E ise, E È F = E dir.E É F ise, E È F = E dir.

 

Birleşim İşleminin Özelikleri

  •  A È Æ = A
  • A È A = A
  • A È B = B È A
  • A È (B È C) = (A È B)

 

 Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir.

 

 

 

EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

 

BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve 14_Kum12 ya da A’ ile gösterilir.

 

Tümleyenin Özelikleri

 

 

KUVVET KÜMESİ

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.

 

 İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir.

Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

 

ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

 

 

14_Kum14 Şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir.

 

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:           = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı: s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:   s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:    s(T’) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:    = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

14_Kum15

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

14_Kum16

Bir apartmanda A gazetesini alan herkes B gazetesini almaktadır. B gazetesini alanlardan C gazetesini alan yoktur.

14_Kum17 Apartmandakilerin kümesi K, A gazetesini alanların kümesi A, B gazetesini alanların kümesi B, C gazetesini alanların kümesi C olmak üzere, yandaki şemada x, y, z, t bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir.

 

 

MH

MH

0saves
If you enjoyed this post, please consider leaving a comment or subscribing to the RSS feed to have future articles delivered to your feed reader.
Get our toolbar!

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayınlanmayacak.